Question

14．请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{9-m}）}^2}+4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC=1，CP=m-3，得到AP=$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}$，设BD=2，DP=9-m，得到BP=$\sqrt{{{（9-m）}^2}+4}$，于是得到$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{9-m}）}^2}+4}$的最小值即为A′B的长，如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，
∴PA=$\sqrt{2}$，
∴PA′=PA=$\sqrt{2}$，
∵AA′∥BD，
∴∠A′=∠B，
∵∠A′PC=∠BPD，
∴△A′PC∽△BPD，
∴$\frac{PB}{PA′}$=$\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{PB}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{1}$，
∴PB=2$\sqrt{2}$，
∴AP+PB=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；
故答案为3$\sqrt{2}$；

（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，
∵BD=4-AC，
∴BD+AC=BD+DE=4，
即BE=4，
在RT△A′BE中，A′B=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP+BP=5，
故答案为5；        

（3）设AC=1，CP=m-3，
∵A A′⊥L于点C，
∴AP=$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}$，
设BD=2，DP=9-m，
∵BD⊥L于点D，
∴BP=$\sqrt{{{（9-m）}^2}+4}$，
∴$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{9-m}）}^2}+4}$的最小值即为A′B的长．
即：A′B=$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{9-m}）}^2}+4}$的最小值．
如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．
∵A′E=CD=CP+PD=m-3+9-m=6，BE=BD+DE=2+1=3，
∴A′B=$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{9-m}）}^2}+4}$的最小值
=$\sqrt{B{E^2}+A'{E^2}}$
=$\sqrt{9+36}$
=$3\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{{（{m-3}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{9-m}）}^2}+4}$的最小值为$3\sqrt{5}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．