Question

5．已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象有一个交点的纵坐标是2．
（1）填空：这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在图象的每一支上，y随x的增大而减小；
（2）求这个反比例函数的解析式；
（3）当x=-3时，求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值；
（4）当$\frac{1}{2}$＜x＜4时，求y=$\frac{k}{x}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到k=4＞0，根据反比例函数的性质即可得到结论；
（2）由正比例函数y=x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象有一个交点的纵坐标是2．得到这个交点的坐标为（2，2），把点（2，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得2=$\frac{k}{2}$，即可得到结论；
（3）把x=-3代入y=$\frac{4}{x}$，即可得到结果；
（4）把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{4}{x}$，得y=8；把x=4代入y=$\frac{4}{x}$，得y=1；于是得到结论．

解答 解：（1）∵正比例函数y=x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象有一个交点的纵坐标是2，
∴交点坐标为（2，2），
∴k=4＞0，
∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；在图象的每一支上，y随x的增大而减小；
故答案为：第一、三，减小；

（2）∵正比例函数y=x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象有一个交点的纵坐标是2．
∴这个交点的坐标为（2，2），
把点（2，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得2=$\frac{k}{2}$，
∴k=4，
∴这个反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；

（3）把x=-3代入y=$\frac{4}{x}$，得y=$\frac{4}{-3}$=-$\frac{4}{3}$，

（4）把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{4}{x}$，得y=8；
把x=4代入y=$\frac{4}{x}$，得y=1；
∴当$\frac{1}{2}$＜x＜4时，求y的取值范围是 1＜y＜8．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求函数解析式，反比例函数的增减性，正确的求出函数的解析式是解题的关键．