Question

19．A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为y_A、y_B（单位：万元）．
（1）分别写出y_A、y_B与x的函数表达式；
（2）当y_A=y_B时，求x的值；
（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据题意由增长率的相等关系列式即可；
（2）由（1）中所列解析式，根据y_A=y_B列方程求解可得；
（3）分0＜x＜$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{10}$＜x＜1利用二次函数的性质解答可得．

解答 解：（1）根据题意可得：y_A=16（1-x）²，y_B=12（1-x） （1+2x）． 

（2）由题意得 16（1-x）²=12（1-x） （1+2x）
解得：x₁=$\frac{1}{10}$，x₂=1．
∵0＜x＜1，
∴x=$\frac{1}{10}$．

（3）当0＜x＜$\frac{1}{10}$时，y_A＞y_B，
y_A-y_B=16（1-x）²-12（1-x） （1+2x）=40（x-$\frac{11}{20}$）²-$\frac{81}{10}$，
∵x＜$\frac{11}{20}$时，y_A-y_B的值随x的增大而减小，且0＜x＜$\frac{1}{10}$，
∴当x=0时，y_A-y_B取得最大值，最大值为4；

当$\frac{1}{10}$＜x＜1时，y_B＞y_A，
y_B-y_A=12（1-x） （1+2x）-16（1-x）²=4（1-x）（10x-1）=40（x-$\frac{11}{20}$）²+$\frac{81}{10}$，
∵-40＜0，$\frac{1}{10}$＜x＜1，
∴当x=$\frac{11}{20}$时，y_B-y_A取最大值，最大值为8.1．
∵8.1＞4
∴当x=$\frac{11}{20}$时，三月份A、B两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元．

点评 本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，理解题意找到相等关系列出方程和函数解析式是解题的关键．