Question

17．将一副直角三角板按如图所示摆放其中∠ACB=∠FDE=90°，AC=BC，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于M，DE⊥BC于N，判断OM与ON的数量关系．

（1）在图1中直接判断OM与ON的关系
（2）图2中DF与AC不垂直，还存在这样的关系吗？说明理由
（3）图3中若O不是AB的中点，其它条件不变，OM与ON又有怎样的关系？请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证△COM≌△CON，得出对应边相等即可；
（2）连接OC，证△AOM≌△CON即可，得出对应边相等；
（3）证明四边形OMCN是矩形，得出ON=MC，再证明△AOM是等腰直角三角形，得出OM=AM，即可得出结论．

解答 解：（1）OM=ON；理由如下：连接OC．
∵AC=BC，O是AB中点，∠ACB=90°，
∴OA=OB，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵DF⊥AC于M，DE⊥BC于N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
在△COM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OMC=∠ONC}&{\;}\\{∠ACO=∠BCO}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△CON（AAS），
∴OM=ON；
（2）存在；理由如下：连接OC，
∵AC=BC，O是AB中点，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，OA=OB，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∴∠A=∠OCN，
∵∠EOF=90°，
∴∠AOM=∠CON，
在△AOM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OCN}&{\;}\\{∠AOM=∠CON}&{\;}\\{OA=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OM=ON；
（3）OM+ON=AC，理由如下：
∵∠ACB=∠FDE=90°，DF⊥AC于M，DE⊥BC于N，
∴四边形OMCN是矩形，
∴ON=MC，
又∵∠A=45°，
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴OM=AM，
∴OM+ON=AM+MC=AC．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键．