Question

正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．
①求证：∠1=∠2；
②求证：EC⊥MC．
③试问当∠2等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：①根据正方形对角线平分一组对角线可得∠ADE=∠CDE，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MF，再根据等边对等角可得∠MCF=∠MFC，然后求出∠2+∠MCF=90°，最后根据垂直的定义证明；
③根据等边对等角可得∠3=∠G，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CFG=2∠2，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．

解答：①证明：在正方形ABCD中，∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2；

②∵M是FG的中点，
∴MC=MF，
∴∠MCF=∠MFC，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠G，
∵∠G+∠MFC=90°，
∴∠2+∠MCF=90°，
∴EC⊥MC；

③解：∠2=30°时，△ECG为等腰三角形．
∵△ECG为等腰三角形，
∴∠3=∠G，
∵∠1=∠2，∠1=∠G，
∴∠2=∠G，
由三角形的外角性质，∠CFG=∠2+∠3=2∠2，
在Rt△CFG中，∠G+∠CFG=90°，
∴∠2+2∠2=90°，
解得∠2=30°，
故∠2=30°时，△ECG为等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并确定出全等的三角形是解题的关键．