Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点D、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若

ED

=

BE

，求∠F的度数；
（2）设线段OC=a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；
（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．

解答：解：（1）如图1，连接EO，
∵

DE

=

BE

，
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；

（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中

∠DCO=∠OHB=90° ∠OBE=∠COD BO=DO

，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴

DO

BF

=

CO

BC

，
∴

4

2a+EF

=

a

4+a

，
∴EF=

4a+16-2a2

a

；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=

4

3

，
③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，
∴EM=

1

2

PE=

4-x

2

，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴

BE

DO

=

EM

CO

，
∴

2x

4

=

4-x 2

x

，
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=

-1± 17

2

（负数舍去），
综上所述：当CO的长为

4

3

或

-1+ 17

2

时，△PEB为等腰三角形．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的性质与判定等知识，利用分类讨论得出是解题关键．