题目内容
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、C，交y轴于点B，对称轴x=-1与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式和B、C点的坐标；
（2）设点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，△PBD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）点G在x轴负半轴上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐标；
（4）若此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO？若存在，求直线QC的解析式；若不存在，试说明理由．
（1）求该抛物线的解析式和B、C点的坐标；
（2）设点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，△PBD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）点G在x轴负半轴上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐标；
（4）若此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO？若存在，求直线QC的解析式；若不存在，试说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）先根据抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，列出关于b、c的方程组
，解方程组求出b、c的值，得到抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；再解方程-x2-2x+3=0，求出x的值，得到C点的坐标；将x=0代入y=-x2-2x+3，求出y的值，得到B点的坐标；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，根据S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE求出S关于x的函数关系式，再根据点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，得出自变量x的取值范围；
（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．根据等角对等边得出GB=GA，由此列出方程a2+32=（1-a）2，解方程求出a的值，即可得到G点坐标；
（4）先根据正切函数的定义得出tan∠ABO=
=
，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=
，再由直线斜率的意义可知直线QC的斜率|k|=
，则k=±
．由此可设直线QC的解析式为y=
x+n，或y=-
x+n，然后将C点坐标（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直线QC的解析式．
|
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，根据S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE求出S关于x的函数关系式，再根据点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，得出自变量x的取值范围；
（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．根据等角对等边得出GB=GA，由此列出方程a2+32=（1-a）2，解方程求出a的值，即可得到G点坐标；
（4）先根据正切函数的定义得出tan∠ABO=
| OA |
| OB |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
当y=0时，-x2-2x+3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴C点的坐标为（-3，0）；
当x=0时，y=3，
∴B点的坐标为（0，3）；
（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE
=
（y+3）（-x）-
×3×1-
×y×（-1-x）
=
-
x-
．
将y=-x2-2x+3代入得，
S=
（-x2-2x+3）-
x-
=-
x2-x+
-
x-
=-
x2-
x，
∵点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，
∴-3＜x＜0，
∴S关于x的函数关系式为：S=-
x2-
x（-3＜x＜0）；
（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．
∵∠GAB=∠GBA，
∴GB=GA，
∴a2+32=（1-a）2，
解得a=-4，
∴G点坐标为（-4，0）；
（4）此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO．
∵tan∠ABO=
=
，
∴tan∠QCA=
，
∴直线QC的斜率|k|=
，
∴k=±
．
设直线QC的解析式为y=
x+n，或y=-
x+n，
将C（-3，0）代入，得0=
×（-3）+n，或0=-
×（-3）+n，
解得n=1或-1．
故直线QC的解析式为y=
x+1，或y=-
x-1．
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
当y=0时，-x2-2x+3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴C点的坐标为（-3，0）；
当x=0时，y=3，
∴B点的坐标为（0，3）；
（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E．S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| y |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
将y=-x2-2x+3代入得，
S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∵点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，
∴-3＜x＜0，
∴S关于x的函数关系式为：S=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．
∵∠GAB=∠GBA，
∴GB=GA，
∴a2+32=（1-a）2，
解得a=-4，∴G点坐标为（-4，0）；
（4）此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO．
∵tan∠ABO=
| OA |
| OB |
| 1 |
| 3 |
∴tan∠QCA=
| 1 |
| 3 |
∴直线QC的斜率|k|=
| 1 |
| 3 |
∴k=±
| 1 |
| 3 |
设直线QC的解析式为y=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
将C（-3，0）代入，得0=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解得n=1或-1．
故直线QC的解析式为y=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定，正切函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．
练习册系列答案
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已知
是方程组
的解，则a，b的值是（ ）
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A、
| |||||
B、
| |||||
C、
| |||||
D、
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