Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点，点C是抛物线与y轴的交点．
（1）求出抛物线的解析式：
（2）已知点D是抛物线上一点，并且在抛物线的对称轴左侧，过点D作DE⊥x轴于点E．是否存在D点，使得以点D、E、B为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式得到抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），然后展开为一般式得到4a=2，再求出a即可得到抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
（2）设D（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），分类讨论：当点D在x轴下方，即1＜m＜$\frac{5}{2}$，如图1，由于∠DEB=∠BOC，根据相似三角形的判定方法当$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$时，△EDB∽△OCB；当$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$时，△EDB∽△OBC，再分别利用相似比得到关于m的方程，再解方程求出m即可得到D点坐标；当点D在x轴上方，即m＜1，如图2，利用同样的方法求解．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），即y=ax²-5ax+4a，
则4a=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
（2）存在．
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=2，则C（0，2），
抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，
设D（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），
当点D在x轴下方，即1＜m＜$\frac{5}{2}$，如图1，
∵∠DEB=∠BOC，
∴当$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$时，△EDB∽△OCB，即$\frac{-（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2）}{2}$=$\frac{4-m}{4}$，解得m₁=2，m₂=4（舍去），此时D点坐标为（2，-1）；
当$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$时，△EDB∽△OBC，即$\frac{-（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2）}{4}$=$\frac{4-m}{2}$，解得m₁=5（舍去），m₂=4（舍去）；
当点D在x轴上方，即m＜1，如图2，
∵∠DEB=∠BOC，
∴当$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$时，△EDB∽△OCB，即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2}{2}$=$\frac{4-m}{4}$，解得m₁=0，m₂=4（舍去），此时D点坐标为（0，2）；
当$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$时，△EDB∽△OBC，即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2}{4}$=$\frac{4-m}{2}$，解得m₁=-3，m₂=4（舍去），此时D点坐标为（-3，14），

综上所述，满足条件的D点坐标为（-3，14）或（0，2）或（2，-1）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定；能利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形的性质；会运用相似比建立线段之间的关系；能利用因式分解法解一元二次方程；学会利用分类讨论的思想解决数学问题．