Question

1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是$\widehat{BC}$的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）先连接OD、AD，根据点D是$\widehat{BC}$的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题也可以过O作OM⊥AC于M，根据全等三角形的性质以及垂径定理进行求解．

解答 解：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．

（2）解法1：连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC，$\widehat{BG}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，
∴$\widehat{DG}$=$\widehat{BC}$，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
又∵OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．
解法2：如图，过O作OM⊥AC于M，则四边形DOME是矩形，
∴∠DOM=90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠FDO+∠FOD=∠MOA+∠FOD=90°，
∴∠FDO=∠MOA，
在△FDO和△MOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠OMA=90°}\\{∠FDO=∠MOA}\\{DO=OA}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△MOA（AAS），
∴AM=OF=4，
又∵OM⊥AC，
∴AC=2AM=8．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理的运用，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．