Question

8．如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6且AE=2EB．则圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长为$\frac{3}{2}$或6．

Answer 1

分析 分两种情况讨论：若⊙O₁与直线DE、AB都相切，且圆心O₁在AB的左侧，过点O₁作O₁G₁⊥DF于G₁，若⊙O₂与直线DE、AB都相切，且圆心O₂在AB的右侧，过点O₂作O₂G₂⊥DF于G₂，求出即可．

解答 解：∵AD∥BC，
∴△EBF∽△EAD，
∴$\frac{EF}{10}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{BF}{8}$，
∴EF=5，BF=4，
如图1，若⊙O₁与直线DE、AB都相切，且圆心O₁在AB的左侧，过点O₁作O₁G₁⊥DF于G₁，
则可设O₁G₁=O₁B=r₁，
∵S_△EO1F+S_△EBO1=S_△EBF，
∴$\frac{1}{2}$r₁×5+$\frac{1}{2}$r₁×3=$\frac{1}{2}$×3×4，
解得：r₁=$\frac{3}{2}$，
若⊙O₂与直线DE、AB都相切，且圆心O₂在AB的右侧，过点O₂作O₂G₂⊥DF于G₂，
则可设O₂G₂=O₂B=r₂，
∵S_△FO2D=$\frac{1}{2}$FO₂×DC=$\frac{1}{2}$DF×O₂G₂，
∴$\frac{1}{2}$×（4+r₂）×（6+3）=$\frac{1}{2}$×（10+5）×r₂，
解得：r₂=6，
即满足条件的圆的半径为$\frac{3}{2}$或6；
故答案为：$\frac{3}{2}$或6．

点评 此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．