Question

3．如图，菱形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，DE⊥AB，E是垂足，DE=3，EB=1，则tan∠AOE=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由菱形ABCD中，DE⊥AB，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得OE=OB，继而求得∠ADB=∠ABD=∠OEB，则可得∠BAD=∠BOE，继而证得∠AOE=∠ADE，再设AD=x，则AE=AB-B=x-1，由勾股定理，即可求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，OB=OD，AC⊥BD，OB=OD，
∴OE=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠OBE=∠OEB，
∵AB=AD，
∴∠OBE=∠ADB，
∴∠BAD=∠BOE，
∵∠BAD+∠ADE=90°，∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠ADE，
设AD=x，则AE=AB-B=x-1，
∵DE⊥AB，DE=3，
∴AD²=AE²+DE²，
∴x²=3²+（x-1）²，
解得：x=5，
∴AD=AB=5，AE=4，
∴tan∠AOE=tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{4}{3}$．
故选D．

点评 此题考查了菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质．注意证得∠AOE=∠ADE是关键．