Question

如图，△EDF中，∠EDF=90°，点B是EF的中点，点M在边ED上，过点B作MB的垂线交边DF于N点，求证：BM²+BN²=ME²+NF²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：延长NB到C，使BC=BN，连接CE、CM，根据SAS定理得出△BCE≌△BNF，故CE=NF，∠BEC=∠F．再由∠EDF=90°可知∠DEF+∠F=90°，故可得出∠CEM=90°，根据勾股定理可知ME²+CE²=CM²，即ME²+NF²=CM²．再由BM⊥BN得出BM²+BC²=CM²，即BM²+BN²=CM²进而可得出结论．

解答： 证明：延长NB到C，使BC=BN，连接CE、CM．
∵B是EF的中点，
∴BE=BF．
在△BCE与△BNF中，
∵

BC=BF ∠EBC=∠FBN BE=BF

，
∴△BCE≌△BNF（SAS），
∴CE=NF，∠BEC=∠F．
∵∠EDF=90°，
∴∠DEF+∠F=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°即∠CEM=90°，
根据勾股定理
∴ME²+CE²=CM²，即ME²+NF²=CM²．
∵BM⊥BN，
∴BM²+BC²=CM²，即BM²+BN²=CM²
∴BM²+BN²=ME²+NF²．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．