Question

15．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G．
（1）求证：DQ=PQ；
（2）求AP•DQ的最大值；
（3）若P为AB的中点，求PG的长．

Answer 1

分析 （1）欲推知DQ=PQ，只需得到∠QPD=∠QDP，结合矩形的性质和平行线的性质就可得到该结论；
（2）由相似三角形△QDE∽△DPA的对应边成比例推知：AP•DQ=DP•DE=$\frac{1}{2}$DP²．结合Rt△DAP中，利用勾股定理得到：AP•DQ=$\frac{1}{2}$（36+AP²），由AP的取值范围；
（3）设CG=x，则BG=6-x，由（1）得，DQ∥AB，所以由平行线分线段成比例得到$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CG}{BG}$，即$\frac{6}{2}$=$\frac{x}{6-x}$，由此求得x的值，进而结合勾股定理得到PG的长度．

解答 （1）证明：∵四边形ABDF是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠APD=∠QDP．
∵∠APD=∠QPD，
∴∠QPD=∠QDP，
∴DQ=PQ．

（2）过点Q作QE⊥DP，垂足为E，则DE=$\frac{1}{2}$DP．
∵∠DEQ=∠PAD=90°，∠QDP=∠APD，
∴△QDE∽△DPA，
∴$\frac{DQ}{DP}$=$\frac{DE}{AP}$，
∴AP•DQ=DP•DE=$\frac{1}{2}$DP²．
在Rt△DAP中，有DP²=DA²+AP²=36+AP²，
∴AP•DQ=$\frac{1}{2}$（36+AP²），
∵点P在AB上，
∴AP≤4，
∴AP•DQ≤26，即AP•DQ的最大值为26．

（3）∵P为AB的中点，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=2，
由（2）得，DQ=$\frac{1}{4}$（36+2²）=10．
∴CQ=DQ-DC=6．设CG=x，则BG=6-x，
由（1）得，DQ∥AB，
∴$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CG}{BG}$，
即$\frac{6}{2}$=$\frac{x}{6-x}$，
解得x=$\frac{9}{2}$，
∴BG=6-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴PG=$\sqrt{P{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了相似综合题，需要熟练掌握矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，综合性较强，属于难题．