Question

9．如图，矩形ABCD中，∠EFC=90°，CF平分∠DCE，S_△CDF：S_△FAE=16：9，CD=8，则S_矩形ABCD=96．

Answer 1

分析 首先由矩形ABCD中，∠EFC=90°，CF平分∠DCE，可证得△AEF∽△DFC，△CDF∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF与DF的长，继而求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵∠EFC=90°，
∴∠AFE+∠CFD=90°，
∴∠AEF=∠CFD，
∴△AEF∽△DFC，
∵S_△CDF：S_△FAE=16：9，
∴CD：AF=FC：EF=4：3，
∵CD=8，
∴AF=6，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF=∠FCE，
∵∠EFC=∠D=90°，
∴△CDF∽△CFE，
∴CD：DF=FC：EF=4：3，
∴DF=6，
∴AD=AF：DF=12，
∴S_矩形ABCD=AD•CD=96．
故答案为：96．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得△AEF∽△DFC，△CDF∽△CFE是解此题的关键．