Question

9．如图，已知在Rt△ABC与Rt△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，CD为Rt△ABC斜边上的中线，且ED∥BC．
（1）求证：△ABC∽△EDC；
（2）若CE=3，CD=4，求CB的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B，根据平行线的性质得到∠EDC=∠BCD，等量代换得到∠B=∠EDC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，由直角三角形的性质得到AB=2CD=8，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC，CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠B=∠EDC，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴△ABC∽△EDC；

（2）解：∵∠DCE=90°，CE=3，CD=4，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵在Rt△ABC，CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AB=2CD=8，
∵△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DE}$，即$\frac{BC}{4}=\frac{8}{5}$，
∴BC=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．