Question

3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．
（1）求出AB的长．
（2）求出△ABC的周长的最小值？

Answer 1

分析 （1）作AD⊥OB于D，则∠ADB=90°，OD=1，AD=4，OB=3，得出BD=2，由勾股定理求出AB即可；
（2）由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，作A′E⊥x轴于E，由勾股定理求出A′B，即可得出结果．

解答 解：（1）作AD⊥OB于D，如图1所示：
则∠ADB=90°，OD=1，AD=4，OB=3，
∴BD=3-1=2，
∴AB=$\sqrt{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
作A′E⊥x轴于E，
由对称的性质得：AC=A′C，
则AC+BC=A′B，A′E=4，OE=1，
∴BE=4，
由勾股定理得：A′B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长的最小值为2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题；熟记最短距离的确定方法是解题的关键．