Question

14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则△AEF的周长=4．

Answer 1

分析 延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得到BE+CF=EF，易得△AEF的周长等于AB+AC．

解答 解：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠NBD=∠FCD=90°}\\{BN=CF}\end{array}\right.$，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠EDF=∠EDN}\\{DN=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=AC=2，
∵BE+CF=EF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．