Question

17．如图，BE是⊙O的直径，C点是半径OE上一点，?ABCD的顶点A在⊙O上，连AC．
（1）如图1，若AD与⊙O相切，且?ABCD是菱形，求tan∠ACB的值；
（2）如图2，连DO，若AC⊥BE，且sin∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求tan∠ADO的值．

Answer 1

分析 （1）连接AO，根据切线的性质得到AO⊥AD，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到△ABO是等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$r，于是得到结论；
（2）连接AO，AC，过D作DH⊥BE交BE的延长线于H，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，推出四边形ACH都是矩形，得到CH=AD，设AC=$\sqrt{5}$a，CD=5a，得到AD=2$\sqrt{5}$a，设AO=BO=r，根据勾股定理得到r=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$a，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）连接AO，
∵AD与⊙O相切，
∴AO⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AO⊥BC，
∵AO=OB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
设⊙O的半径为r，
∴AO=OB=r，
则AB=$\sqrt{2}$r，
∴OC=（$\sqrt{2}$-1）r，
∴tan∠ACB=$\frac{AO}{OC}$=$\sqrt{2}$+1；

（2）连接AO，AC，过D作DH⊥BE交BE的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AC⊥BE，
∴AC⊥AD，
∴四边形ACH都是矩形，
∴CH=AD，
∵sin∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴设AC=$\sqrt{5}$a，CD=5a，
∴AD=2$\sqrt{5}$a，
∴BC=CH=2$\sqrt{5}$a，
设AO=BO=r，
∴OC=2$\sqrt{5}$a-r，
∵AO²=OC²+AC²，
∴r²=（2$\sqrt{5}$a-r）²+（$\sqrt{5}$a）²，
∴r=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$a，
∴OH=4$\sqrt{5}$a-$\frac{5\sqrt{5}}{4}$a=$\frac{11\sqrt{5}}{4}$a，
∴tan∠ADO=tan∠DOH=$\frac{DH}{OH}$=$\frac{\sqrt{5}a}{\frac{11\sqrt{5}}{4}a}$=$\frac{4}{11}$．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．