Question

12．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（　　）

• A． 1cm
• B． 7cm
• C． 3cm或4cm
• D． 1cm或7cm

Answer 1

分析 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=5，AF=FB=4cm，CE=ED=3cm，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，由勾股定理求出OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．

解答 解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图1所示：
∵半径r=5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，
∴OA=OC=5，CE=DE=3cm，AF=FB=4cm，E、F、O在一条直线上，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE²=OC²-CE²
∴OE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4（cm），
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF²=OA²-AF²，
∴OF=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3（cm），
∴EF=OE+OF=4+3=7（cm），
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图2所示：
同①可得：OE=4cm，OF=3cm；
则AB与CD的距离为：OE-OF=1（cm）．
故选：D．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．