Question

2．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

解答 解：如图1，

∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，

∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=$\sqrt{2}$；
如图3，

∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=$\sqrt{3}$，
则该三角形的三边分别为：1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，
∵（1）²+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{3}$）²，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$×=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．