Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规在边AC上作一点P，且使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当∠B=60度时，PA：PC=2：1．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交AC于点P，则PA=PB；
（2）利用PA=PB，PA：PC=2：1得到PB：PC=2：1，则在Rt△BCP中利用余弦的定义可计算出∠BPC=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠A=30°，然后•利用互余计算∠ABC的度数．

解答 解：（1）如图，点P为所作；

（2）∵PA=PB，PA：PC=2：1，
∴PB：PC=2：1，
在Rt△BCP中，∵cos∠BPC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BPC=60°，
∵PA=PB，
∴∠A=∠PBA，
∵∠BPC=∠A+∠PBA，
∴∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
故答案为60．

点评 本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．解决（2）小题的关键是利用三角函数确定∠BPC的度数．