Question

4．如图，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB=120°，OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC．
（1）求∠EOF的大小；
（2）当OB绕O旋转时，OE，OF仍为∠AOB和∠BOC的平分线，问：OE，OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个结论？

Answer 1

分析 （1）先由点O是AC上一点，得出∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，根据角平分线定义得出∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC，那么∠EOF=∠BOE+∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°；
（2）当OB绕O点旋转时，若OE，OF仍为∠AOB和∠BOC的平分线，仍然可以得到∠EOF=90°，根据垂直的定义得出OE⊥OF．

解答 解：（1）∵点O是AC上一点，
∴∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，
∵OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$∠AOC
=90°；
（2）当OB绕O旋转时，
∵点O是AC上一点，
∴∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，
∵OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$∠AOC
=90°，
∴OE⊥OF．
由此得到：邻补角的两角的平分线互相垂直．

点评 此题综合考查角平分线，余角，要记住互为余角的两个角的和为90度．同时考查了垂直的判定．