Question

20．在△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE=AD，

（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB=110°时，求∠DAE的度数；
（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE=AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．
①依题意补全图形；
②求证：BF=DE．

Answer 1

分析 （1）依据三角形的外角性质进行计算即可，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）①连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE，据此画图即可；
②依据SAS判定△EBF≌△ADE，再根据全等三角形对应边相等，即可得到DE=BF．

解答 解：（1）∵∠AEB=110°，∠ACB=90°，
∴∠DAE=∠AEB-∠ACB=20°；

（2）①补全图形，如图所示．

②证明：由题意可知∠AEF=90°，EF=AE．
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°．
∴∠BEF=∠DAE．
∵在△EBF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AD}\\{∠BEF=∠DAE}\\{EF=AE}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△ADE（SAS）．
∴DE=BF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；对应点到旋转中心的距离相等．