Question

10．如图，⊙O的直径AB=4，∠BAC=30°，AC交⊙O于D，D是AC的中点．
（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求$\widehat{BD}$与线段DE、BE围成的阴影面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，易证DO是△ABC的中位线，从而可知OD∥BC，所以∠EDO=∠CED，由于DE⊥BC，从而可知DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，分别求出四边形OBED与扇形OBD的面积，然后即可求出阴影部分面积．

解答 （1）证明：连接OD．
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=∠CED=90°
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线，

（2）连接BD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∵∠BAC=30°，AB=4
∴∠BOD=2∠ABD=60°
∵OB=OD
∴△OBD是等边三角形
∴∠ODB=∠BOD=60°，OB=OD=BD=2
∵∠EDO=90°
∴∠BDE=30°
∴在Rt△BDE中 BE=1，DE=$\sqrt{3}$
∴S_阴=S_{四边形ODEB}-S_扇形OBD=$\frac{（1+2）\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π{×2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$
答：阴影面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周定理，等边三角形的性质与判定，切线的判定，扇形面积公式，综合程度较高，属于中等题型．