Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{4}{5}$，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AO=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由于EF是BD的中垂线，DF=BF．从而可知∠FDB=∠B，又因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，从而可证明∠ODF=90°；
（2）连接OF，由题意可知：AO=x，DF=y，OC=6-x，CF=8-y，然后在Rt△COF中与Rt△ODF中利用勾股定理分别求出OF，化简原式即可求出答案．

解答 （1）连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂线，
∴DF=BF．
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°．
∴∠ODA+∠FDB=90°．
∴∠ODF=90°，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线，

（2）连接OF．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6-x，CF=8-y，
在Rt△COF中，
OF²=（6-x）²+（8-x）²
在Rt△ODF中，
OF²=x²+y²
∴（6-x）²+（8-x）²=x²+y²，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{4}$（0＜x≤6）

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理、垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．