Question

14．A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）设点B的坐标为（x，y），试求y关于x的函数表达式；
（3）当t=3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；
（2）先证出△PAO≌△BPC，即可得出各边的关系，利用坐标系中点的意义即可得出个线段的长度，由相等的量可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质可知，若△APM为等腰三角形只需找到一组临边相等即可，临边相等分三种情况，分类讨论结合两点间的距离公式即可得出结论．

解答 解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为长方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
t=4÷1=4（秒），
故t的值为4．
（2）∵△APB为等腰直角三角形，
∴∠APO+∠BPC=180°-90°=90°．
又∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO=∠BPC．
在△PAO和△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠BPC}\\{∠AOP=∠PCB=90°}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△BPC，
∴AO=PC，BC=PO．
∵点A（0，4），点P（t，0），点B（x，y），
∴PC=AO=4，BC=PO=t=y，CO=PC+PO=4+y=x，
∴y=x-4．
（3）△APM为等腰三角形分三种情况：
①当AM=AP时，如图2所示．

当t=3时，点P（3，0），
∵点M（3，a），点A（0，4），
∴由两点间的距离公式可知：
AM=$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$，AP=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=5，
∴$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$=5，解得：a=0（舍去），a=8．
此时M点的坐标为（3，8）；
②当MA=MP时，如图3所示．

∵点P（3，0），点A（0，4），点M（3，a），
∴由两点间的距离公式可知：
MA=$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$，MP=a，
∴$\sqrt{（3-0）^{2}+（a-4）^{2}}$=a，解得：a=$\frac{25}{8}$．
此时M点的坐标为（3，$\frac{25}{8}$）；
③当PA=PM时，如图4所示．

∵点P（3，0），点A（0，4），点M（3，a），
∴由两点间的距离公式可知：
PA=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=5，PM=|a|，
∴a=±5．
此时M点的坐标为（3，5）或（3，-5）．
综上可知：当t=3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），使△APM为等腰三角形的点M的坐标为（3，8），（3，$\frac{25}{8}$），（3，5）和（3，-5）．

点评 本题考查了长方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和两点间的距离公式，解题的关键是：（1）找出△AOP为等腰直角三角形；（2）利用△PAO≌△BPC找出相等的边；（3）利用两点间的距离公式表示出两线段的长度．本题属于中档题，难度不大，（1）（3）问容易解决，（2）需要用x、t、y去表示各边长度，再由相等的边找到x、y的关系，作此类型的题要结合图形，寻找相等的量才能得出结论．