Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H
（1）求∠APB度数；
（2）求证：△ABP≌△FBP；
（3）求证：AH+BD=AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线性质可得∠PAB+∠PBA=45°，即可解题；
（2）易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；
（3）由（2）结论可得∠F=∠BAD，AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．

解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠APB=180°-45°=135°；
（2）∵∠APB=135°，
∴∠DPB=45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF=135°，
在△ABP和△FBP中，

∠BPF=∠APB=135° BP=BP ∠ABP=∠FBP

，
∴△ABP≌△FBP（ASA）；
（3）∵△ABP≌△FBP，
∴∠F=∠BAD，AP=PF，AB=BF，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，

∠F=∠CAD AP=PF ∠APH=∠FPD=90°

，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=DF，
∵BF=DF+BD，
∴AB=AH+BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．