Question

如图1，点P是⊙O外一点，过点P作直线交⊙O于A、B两点，点C是⊙O上一点，连接CP、CA、CB，且PC²=PA•PB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）如图2，点D是劣弧AB的中点，连接CD交AB于E，若⊙O的半径为6，AB=4

5

，

AC

BC

=

1

3

，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）作直径CM，连接AM，如图1，由PC²=PA•PB得到PC：PA=PB：PC，加上∠P=∠P，则可判断△PAC∽△PCB，得到∠PCA=∠B，根据圆周角定理得∠B=∠M，所以∠M=∠PCA．再由CM是直径得到∠MAC=90°，易得∠ACM+∠PCA=90°，即∠PCM=90°，于是可根据切线的判定定理得到PC是⊙O的切线；
（3）连接OD交AB于F，连结OA，如图2，根据垂径定理，由D是劣弧AB的中点得到OD⊥AB，AF=BF=

1

2

AB=2

5

，根据圆周角定理得∠ACD=∠BCD，加上∠PCA=∠B，易得∠PCE=∠PEC，所以PC=PE，接着由△PCA∽△PBC，利用相似比得PC=3PA，则利用PC²=PA•PB可计算出PC=PE=

3 5

2

，再计算出AE=PE-PA=

5

，EF=AF-AE=

5

，然后在Rt△OAF中利用勾股定理计算出OF=4，则DF=OD-OF=2，最后在Rt△DEF中利用勾股定理计算出DE．

解答：（1）证明：作直径CM，连接AM，如图1，
∵PC²=PA•PB，
∴PC：PA=PB：PC，
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA=∠B．
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠PCA．
∵CM是直径，
∴∠MAC=90°，
∴∠ACM+∠M=90°，
∴∠ACM+∠PCA=90°，即∠PCM=90°，
∴CM⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：连接OD交AB于F，连结OA，如图2，
∵D是劣弧AB的中点，
∴OD⊥AB，∠ACD=∠BCD，
∴AF=BF=

1

2

AB=2

5

，
由（1）得∠PCA=∠B，
∵∠AEC=∠BCD+∠B，∠PCE=∠PCA+∠ACD，
∴∠PCE=∠PEC，
∴PC=PE，
∵△PCA∽△PBC，
∴

PA

PC

=

AC

BC

=

1

3

，
∴PC=3PA，
∵PC²=PA•PB，
∴9PA²=PA•PB，
∴9PA=PB=PA+AB，
∴8PA=AB=4

5

，
∴PA=

5

2

，
∴PC=PE=

3 5

2

，
∴AE=PE-PA=

5

，
∴EF=AF-AE=2

5

-

5

=

5

，
在Rt△OAF中，∵OA=6，AF=2

5

，
∴OF=

OA2-AF2

=4，
∴DF=OD-OF=6-4=2，
在Rt△DEF中，∵EF=

5

，DF=2，
∴DE=

EF2+DF2

=3．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．