Question

1．如图，△ABC、△DCE、△FEG为等边三角形，边长分别为2、3、5，且从左至右如图排列，连接BF，交DC、DE分别于M、N两点，则△DMN的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 易证BE=EF=5，从而可得∠EBF=$\frac{1}{2}$∠FEG=30°，根据三角形外角的性质可得到∠DNM=90°；易证△BCM∽△BEF，根据相似三角形的性质可求出CM，从而得到DM的值，然后在Rt△DNM中，运用三角函数可求出MN、DN，就可求出△DMN的面积．

解答 解：∵△FEG为等边三角形，∴∠FEG=60°．
∵BC=2，CE=3，EF=5，∴BE=5=EF，
∴∠EBF=∠EFB=$\frac{1}{2}$∠FEG=30°．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠D=∠DCE=∠DEC=60°，
∴∠DNM=∠EBF+∠DEC=90°．
∵∠DCE=∠FEG=60°，
∴CM∥EF，
∴△BCM∽△BEF，
∴$\frac{CM}{EF}$=$\frac{BC}{BE}$，即$\frac{CM}{5}$=$\frac{2}{5}$，
解得CM=2，
∴DM=DC-CM=3-2=1，
∴在Rt△DNM中，
MN=DM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
DN=DM•cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴S_△DNM=$\frac{1}{2}$DN•MN=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角函数的定义等知识，本题除了运用三角形相似求CM的值，还可以通过证明∠CBM=∠CMB=30°，得到CM=BC=2．