Question

4．先化简，后计算：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b}+\frac{b}{a（a+b）}$，其中a=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先通分、化简，然后代入求值．

解答 解：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b}+\frac{b}{a（a+b）}$，
=$\frac{ab+a（a+b）+{b}^{2}}{ab（a+b）}$，
=$\frac{（a+b）^{2}}{ab（a+b）}$，
=$\frac{a+b}{ab}$．
∵a=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ab=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$•$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}-1}{{2}^{2}}$=1，
a+b=$\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1}{2}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$．即：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b}+\frac{b}{a（a+b）}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．