Question

10．如图，在?ABCD中，E为BC上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC
（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求tan∠BAE的值．

Answer 1

分析 （1）根据是ABCD平行四边形，得出AB∥CD，则∠BAD+∠ADC=180°，又根据AE、DE是∠BAD、∠ADC的角平分线，得出∠DAE+∠ADE=90°，即可得出AE⊥DE；
（2）由于AD∥BC，AE是角平分线，容易得∠BAE=∠BEA，那么AB=BE=CD=5，同理有CE=CD=5，容易得出AD=BC=BE+CE=10，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，由于AD是直径，所以tan∠FAG=$\frac{FG}{AF}$，而∠FAG=∠DAE，于是$\frac{FG}{AF}$=$\frac{DE}{AE}$，即可求解．

解答 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°．                     
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE．               

（2）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA．                        
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=5．                           
同理EC=CD=5．
∴AD=BC=BE+EC=10．                       
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠FAG=∠DAE．
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=$\frac{FG}{AF}$，
∴$\frac{FG}{AF}$=tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠BAE=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握各定理是解题的关键．