Question

10．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下结论：
①a＞0；②b＞0；③a+b+c＞0；④2a+b=0；⑤方程ax²+bx+c=0的解为x₁=-1，x₂=3．
其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ③④⑤
• D． ①④⑤

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1得b=-2a＜0，由抛物线与y轴的交点则可对①②④进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点（-1，0）与（3，0），则当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，于是可对③⑤进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＜0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的交点在（-1，0）与（3，0），
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的交点在（-1，0）与（3，0），
∴对称轴x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，所以④正确；
∵抛物线与x轴的交点在（-1，0）与（3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的解为x₁=-1，x₂=3，所以⑤正确．
故选D．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．