Question

19．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为（a，b），且a，b满足b=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+8}{a+2}$
（1）求B点的坐标；
（2）点A为y轴上一动点，过B点作BC⊥AB交x轴正半轴于点C，求证：
BA=BC．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质得到关于a，b的方程，求得a，b，即可得到结论；
（2）作BM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N点，很容易知道△ABM≌△CBN．而B点坐标是（2，2），那么就有一组对应边相等，故全等，可得BA=BC．

解答 解：（1）∵b=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}+\sqrt{4-{a}^{2}}+8}{a+2}$，
∴a²-4≥0，4-a²≥0，解得：a=±2，∵a+2≠0，
∴a=2，
∴b=2，
∴B（2，2）；

（2）作BM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N点，如图：
∴∠MBN=90°．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABM=∠CBN．
∵B点坐标是（2，2），
∴BM=BN，
在△ABM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠BNC}\\{BM=BN}\\{∠ABM=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BA=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，二次根式的性质，本题中求证△ABE≌△CBD是解题的关键．