Question

7．如图，在四边形ABCD中，AB=CB，BD平分∠ABC，过BD上一点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）求证：DM=DN．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根据SAS证明两个三角形全等，进而得到∠ADB=∠CDB；
（2）在△PMD和△PND中，利用∠PMD=∠PND、∠MDP=∠PND和PD=PD证明△PMD≌△PND，于是可得DM=DN．

解答 证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠DCB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
在△PMD和△PND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMD=∠PND}\\{∠MDP=∠PND}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴DM=DN．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握SAS和AAS证明两个三角形全等，此题难度不大．