已知△ABC中.M为BC的中点.直线m 绕点A旋转.过B.M.C 分别作BD⊥m于点D.ME⊥m于点E.CF⊥m于点F．当直线m经过点B时.如图1.可以得到$EM=\frac{1}{2}CF$．(1)当直线m不经过B点.旋转到如图 2.图 3 的位置时.线段BD.ME.CF之间有怎样的数量关系.请直接写出你的猜想．图2.猜想:$ME=\frac{1}{2}$,图3.猜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知△ABC中，M为BC的中点，直线m 绕点A旋转，过B，M，C 分别作BD⊥m于点D，ME⊥m于点E，CF⊥m于点F．当直线m经过点B时，如图1，可以得到$EM=\frac{1}{2}CF$．
（1）当直线m不经过B点，旋转到如图 2，图 3 的位置时，线段BD，ME，CF之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想．
图2，猜想：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$；
图3，猜想：$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$．
（2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明．

分析（1）根据题意可以写出图2和图3的猜想，从而本题得以解决；
（2）对于图2和图3的猜想可以画出相应的图形，利用图1的结论可以推导出图2和3猜想，并写出证明过程．

解答解：（1）图2的猜想为：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$，
图3的猜想为；$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$，
故答案为：$ME=\frac{1}{2}（BD+CF）$，$ME=\frac{1}{2}（CF-BD）$；
（2）图2的猜想证明如下，
连接DM并延长交FC的延长线于点K，
∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠DBM=∠KCM，
又∵M为BC的中点，

∴BM=CM，
在△DBM和△KCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠KCM}\\{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMK}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知：$EM=\frac{1}{2}FK$，
∴$ME=\frac{1}{2}（CF+CK）=\frac{1}{2}（CF+DB）$．
图3的猜想证明如下，
连接DM并延长交FC于点K，

∵BD⊥m，CF⊥m，
∴BD∥CF，
∴∠MBD=∠KCM，
又∵M为BC的中点，
∴BM=CM，
在△DBM和△KCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBD=∠KCM}\\{M=CM}\\{∠BMD=∠CMK}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由（1）知：$ME=\frac{1}{2}FK$
∴$ME=\frac{1}{2}（CF-CK）=\frac{1}{2}（CF-DB）$．