Question

19．如图①，已知∠MON=Rt∠，点A，P分别是射线OM，ON上两定点，且OA=2，OP=6，动点B从点O向点P运动，以AB为斜边向右侧作等腰直角△ABC，设线段OB的长x，点C到射线ON的距离为y．
（1）若OB=2，直接写出点C到射线ON的距离；
（2）求y关于x的函数表达式，并在图②中画出函数图象；
（3）当动点B从点O运动到点P，求点C运动经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）OB=2时，四边形OACB是正方形，由此即可解决问题．
（2）如图③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．由△CEA≌△CFB，推出AE=CF，CE=CF，由∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，推出四边形OECF是矩形，由CE=CF，
推出四边形OECF是正方形，根据AE=y-2，FB=x-y，可得y-2=x-y，即y=$\frac{1}{2}$x+1（0≤x≤6），画出图象即可．
（3）如图③中，由CE=CF，推出OC平分∠MON，推出点C的运动轨迹是线段OC，因为x=6，y=4，可得OC=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如图①中，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，△ACB是等腰直角三角形，
∴四边形OACB是正方形，
∴点C到ON的距离为2．

（2）如图③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．

∵∠ACB=∠ECF=90°，CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴△CEA≌△CFB，
∴AE=CF，CE=CF，
∵∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，
∴四边形OECF是矩形，∵CE=CF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF=CE=OE=OF=y，
∵AE=y-2，FB=x-y，
∴y-2=x-y，
∴y=$\frac{1}{2}$x+1，可得函数图象如图②所示，


（3）如图③中，∵CE=CF，
∴OC平分∠MON，
∴点C的运动轨迹是线段OC，
∵x=6，y=4，
∴OC=4$\sqrt{2}$，
∴点C运动经过的路径长为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查动点问题函数图象、一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．