如图1.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A.B两点.与y轴交于点C(0.3)．直线y=-$\frac{3}{4}$x+m经过点C.与抛物线另一个交点为D.点P是抛物线上一动点.过点P作PF⊥x轴于点F.交直线CD于点E．(1)求抛物线的解析式,(2)当点P在直线CD上方.且△CPE是以CE为腰的等腰三角形时.求点P的坐标,(3)如图2.连接BP.以点P为直角顶点.线段BP为较� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图1，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3）．直线y=-$\frac{3}{4}$x+m经过点C，与抛物线另一个交点为D，点P是抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线CD上方，且△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接BP，以点P为直角顶点，线段BP为较长直角边，构造两直角边比为1：2的Rt△BPG，是否存在点P，使点G恰好落在直线y=x上？若存在，请直接写出相应点P的横坐标（写出两个即可）；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先把C点代入直线CD中求出m的值，表示P（m，-m²+2m+3）、E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），
当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当CE=CP时，过C作CG⊥PF于G，根据OC=FG列方程解出即可；
②当CE=PE时，先表示CE、EG、CG的长，利用勾股定理得：CG²+EG²=CE²，列方程解出即可；
（3）先根据点P在抛物线上，G在直线y=x上设P（m，-m²+2m+3），G（a，a），
如图3，作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG∽△BNP，则$\frac{PN}{GH}$=$\frac{BN}{PH}$=$\frac{PB}{PG}$，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m；
如图4，同理列方程组解出m的值．

解答解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入抛物线y=-x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）把C（0，3）代入直线y=-$\frac{3}{4}$x+m得：
m=3，
∴直线的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3，
设P（m，-m²+2m+3）、E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），
①当CE=CP时，过C作CG⊥PF于G，
∴PE=（-m²+2m+3）-（-$\frac{3}{4}$x+3）=-m²+$\frac{11}{4}$m，
∵PC=CE，CG⊥PF，
∴PG=EG，
∴EG=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{-4{m}^{2}+11m}{8}$，
∵OC=FG=EF+EG，
∴-$\frac{3}{4}$m+3+$\frac{-4{m}^{2}+11m}{8}$=3，
解得：m₁=0，m₂=$\frac{5}{4}$，
当m=$\frac{5}{4}$时，y=-m²+2m+3=-（$\frac{5}{4}$）²+2×$\frac{5}{4}$+3=$\frac{63}{16}$，
∴P（$\frac{5}{4}$，$\frac{63}{16}$），
②当CE=PE时，
在Rt△CEG中，CG=m，EG=FG-EF=3-（-$\frac{3}{4}m$+3）=$\frac{3}{4}$m，
CE=PE=-m²+$\frac{11}{4}m$，
由勾股定理得：CG²+EG²=CE²，
（-m2+$\frac{11}{4}m$）²=m²+（$\frac{3}{4}m$）²，
解得：m₁=4（舍），m₂=$\frac{3}{2}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{9}{4}$+2×$\frac{3}{2}$+3=$\frac{15}{4}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
综上所述，当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，点P的坐标是（$\frac{5}{4}$，$\frac{63}{16}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）设P（m，-m²+2m+3），G（a，a），
如图3，过B作BN∥y轴，过P作PH∥x轴，交于N，过G作GH⊥PN，垂足为H，则∠PHG=∠BNP=90°，
∴∠NBP+∠BPN=90°，
∵∠BPG=90°，
∴∠BPN+∠NPG=90°，
∴∠NBP=∠NPG，
∴△PHG∽△BNP，
∴$\frac{PN}{GH}$=$\frac{BN}{PH}$=$\frac{PB}{PG}$，
∵$\frac{PB}{PG}$=2，
∴$\frac{PN}{GH}=\frac{BN}{PH}$=2，
∴$\frac{3-m}{a+{m}^{2}-2m-3}$=$\frac{-{m}^{2}+2m+3}{a-m}$=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{2a+2{m}^{2}-4m-6=3-m}\\{-{m}^{2}+2m+3=2a-2m}\end{array}\right.$，
解得：m₁=-3，m₂=2；
如图4，过P作NH∥x轴，过G作GN⊥NH，过B作BH⊥NH，垂足分别为N、H，
同理得：△PNG∽△BHP，
∴$\frac{PN}{BH}$=$\frac{NG}{PH}$=$\frac{PG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{-a+m}{-{m}^{2}+2m+3}$=$\frac{-a-{m}^{2}+2m+3}{3-m}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2m=-{m}^{2}+2m+3}\\{-2a-2{m}^{2}+4m+6=3-m}\end{array}\right.$，
解得：m=$\frac{5±\sqrt{97}}{6}$，
综上所述，相应点P的横坐标为-3或2或$\frac{5+\sqrt{97}}{6}$或$\frac{5-\sqrt{97}}{6}$．