Question

7．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$上（x＜0），则k的值为（　　）

• A． -9
• B． -9$\sqrt{3}$
• C． -18$\sqrt{3}$
• D． -25$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，设OE=a，根据等边三角形的性质找出点D、C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程，解方程得出a的值，进而即可求出k的值．

解答 解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
设OE=a，则OD=2a，DE=$\sqrt{3}$a，
∴BD=OB-OD=10-2a，BC=2BD=20-4a，AC=AB-BC=4a-10，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2a-5，CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$（2a-5），OF=OA-AF=15-2a，
∴点D（-a，$\sqrt{3}$a），点C（2a-15，$\sqrt{3}$（2a-5））．
∵点C、D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$上（x＜0），
∴-a•$\sqrt{3}$a=（2a-15）×$\sqrt{3}$（2a-5），
解得：a=3或a=5．
当a=5时，DO=OB，AC=AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a=5舍去，即a=3．
∴点D（-3，3$\sqrt{3}$），
∴k=-3×3$\sqrt{3}$=-9$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，设出OE，用其表示出点C、D的坐标是解题的关键．