学习了三角形全等的判定方法(即“SAS .“ASA .“AAS .“SSS )和直角三角形全等的判定方法后.我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等的情形进行研究．[初步思考]我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中.AC=DF.BC=EF.∠B=∠E.然后.对∠B进行分类.可分为“∠B是直角.钝� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母）
（4）∠B与∠A满足什么关系，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

分析（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），则CG=FH，进而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；
（3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
（4）利用（3）中方法可得出当∠B≥∠A时，则△ABC≌△DEF．

解答（1）解：如图①，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；

（2）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABC=∠DEF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如图③，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：∠B≥∠A．