题目内容

10．在△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，△ABD是以AB为腰的等腰三角形，若AB=15，BC=20，则CD的长为7或10．

分析 先根据勾股定理求出AC的长，再分AB=AD、BA=BD两种情况分类讨论，对于BA=BD=15时有AD=2AE，作BE⊥AD，可求得BE的长，在Rt△ABE中根据勾股定理可得AE，继而知AD，可得答案．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=15，BC=20，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+2{0}^{2}}$=25，
①如图1，当AB=AD=15时，

CD=AC-AD=10；
②如图2，当BA=BD=15时，过点B作BE⊥AD于点E，

则AD=2AE，
∵BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{15×20}{25}$=12，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=9，
∴AD=2AE=18，
∴CD=AC-AD=7，
故答案为：7或10．

点评 本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是关键．

练习册系列答案
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（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母）
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