题目内容
20．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx-3的对称轴为x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过A，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点（不含B，C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？
（3）如图（3），将△ODB沿直线y=x+1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分，请直接写出此时平移的距离．
分析 （1）先求得点A的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标，然后求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，-3）代入求得a的值即可；
（2）连结OP．先求得点D的坐标，从而可得到OD的长，设P（t，t2-2t-3），然后依据四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积可得到S与t的函数关系式，利用配方法可求得S的最大值以及对应的t的值；
（3）设点D′的坐标为（a，a+1），O′（a，a），当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=1：2时，E（a+1，a），将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到O′的坐标，然后求得OO′的长即可，当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=2：1时，E（a+2，a），同理可求得OO′的长，从而可得到△B′O′D′平移的距离．
解答 解：（1）把y=0代入直线的解析式得：x+1=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴B的坐标为（3，0）．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=-3，
∴C（0，-3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，-3）代入得：-3a=-3，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）如图1所示：连结OP．
将x=0代入直线AD的解析式得：y=1，
∴OD=1．
由题意可知P（t，t2-2t-3）．
∵四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×（-t2+2t+3）+$\frac{1}{2}$×3×t，整理得：S=-$\frac{3}{2}$t2+$\frac{9}{2}$t+6．
配方得：S=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{75}{8}$．
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S取得最大值，最大值为$\frac{75}{8}$．
（3）如图2所示：
设点D′的坐标为（a，a+1），O′（a，a）．
当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=1：2时，则O′E：EB′=1：2．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=1．
∴E（a+1，a）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+1）2-2（a+1）-3=a，整理得：a2-a-4=0，解得：a=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
∴O′的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
∴OO′=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$或OO′=$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$．
∴△DOB平移的距离为$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$或$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$．
当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=2：1时，则O′E：EB′=2：1．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=2．
∴E（a+2，a）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+2）2-2（a+2）-3=a，整理得：a2-a-4=0，解得：a=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$．
∴O′的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$）．
∴OO′=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$或OO′=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$．
∴△DOB平移的距离为$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$．
综上所述，当△D′O′B′沿DA方向平移$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$单位长度，或沿AD方向平移$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$个单位长度时，ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分．
点评 本题主要考查的是二次函数函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、平移与坐标变换，依据四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积列出S与t的函数关系式是解答问题（2）的关键，用含a的式子表示出点E的坐标是解答问题（3）的关键．
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