Question

3．如图，在等边△ABC中，点D为AC边上一点连接BD，点O边AB中点，在BD上取点E，连接OE，使∠OEB=60°，过C作CF∥OE，CF交BD于F．求证：BF=2OE．

Answer 1

分析 延长OE交BC于N，作AM∥OE交BD的延长线于M，连接CM，利用ASA证明△ACM与△BCF全等，再利用全等三角形的性质证明即可．

解答 证明：延长OE交BC于N，作AM∥OE交BD的延长线于M，连接CM，

∵∠5=∠2+∠3=60°=∠1+∠4，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠6，
∴A，M，C，B四点共圆，
∴∠CMB=∠CAB=60°=∠MFC，
∴∠MCF=∠ACB，
∴∠MCA=∠4，
∵AC=BC，
在△ACM与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠6}\\{AC=BC}\\{∠MCA=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCF（ASA），
∴AM=MF，
∵OA=OB，OE∥AM，
∴EB=EM，
∴AM=2OE，
∴BF=2OE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△ACM与△BCF全等．