有一块三角形余料ABC.它的边BC=120mm.高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件.使矩形的一边在BC上.其余两个顶点分别在AB.AC上．(1)如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形.如图1.此时.这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm?请你计算．(2)如果题中所要加工的零件只是矩形.如图2.这样.此矩形零件的两条邻边长就不能确定.但这个矩形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算．
（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长．

分析（1）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=ymm，则PN=2ymm，易证△APN∽△ABC，由相似三角形的性质解答即可；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答

解答解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$，
解得y=$\frac{240}{7}$，
∴PN=$\frac{240}{7}$×2=$\frac{480}{7}$（mm），
答：这个矩形零件的两条边长分别为$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm；
（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}=\frac{80-PQ}{80}$，
解得PQ=80-$\frac{2}{3}$x．
∴S=PN•PQ=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
∴S的最大值为2400mm²，此时PN=60mm，PQ=80-$\frac{2}{3}$×60=40（mm）．