Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求$\widehat{AG}$的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OG，利用弧长公式直接计算即可；
（2）结论：BF是⊙O的切线．连接OB，只要证明OB⊥BF即可；

解答 解：（1）连接OG．
∵∠AOG=2∠ACF=60°，OA=4，
∴$\widehat{AG}$的长=$\frac{60•π•4}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

（2）结论：BF是⊙O的切线．
理由：连接OB．
∵AC是直径，
∴∠CBA=90°，
∵BC=BA，OC=OA，
∴OB⊥AC，
∵FH⊥AC，
∴OB∥FH，
在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$CF，
∵CA=CF，
∴FH=$\frac{1}{2}$AC=OC=OA=OB，
∴四边形BOHF是平行四边形，
∵∠FHO=90°，
∴四边形BOHF是矩形，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线．

点评 本题考查切线的判定、矩形的判定．等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．