Question

16．如图，点A（1，6）和动点M（m，n）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，直线AM交X轴与点C，交Y轴于点D．

（1）k的值为6；
（2）当m＞1时，请判断AD与CM的数量关系；并说明理由；
（3）当m＜0时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）m＞1时，点M在点A的右侧，写出直线AM的解析式，用含有m的代数式表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质表示出DA、MC，进而得解；
（3）m＜0时，点M在第三象限，分别表示出OP、OC、OB、OD的长度，进而得解．

解答 解：（1）将点A（1，6）的坐标代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=6；
（2）m＞1时，点M在点A的右侧，
点M（m，$\frac{6}{m}$），
设直线AM的解析式为：y=ax+b，将A（1，6），（m，$\frac{6}{m}$）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=6}\\{ma+b=\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{6}{m}}\\{b=6+\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{6}{m}$x+6+$\frac{6}{m}$，
当x=0时，y=$6+\frac{6}{m}$，∴D（0，$6+\frac{6}{m}$），
当y=0时，x=m+1，∴C（m+1，0），
过A作AE⊥y轴，则AE∥x轴，AE=1，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{DA}{DC}$，即：$\frac{1}{m+1}$=$\frac{DA}{DC}$，∴DA=$\frac{DC}{m+1}$，
过M作MF⊥x轴，则MF∥y轴，MF=$\frac{6}{m}$，
∴$\frac{MF}{OD}$=$\frac{MC}{DC}$，即：$\frac{\frac{6}{m}}{6+\frac{6}{m}}$=$\frac{MC}{DC}$，∴MC=$\frac{DC}{m+1}$，
∴DA=MC，；
（3）BP∥AM．
m＜0时，点M在第三象限，
OP=-m，OC=-（m+1），OB=6，OD=6+$\frac{6}{m}$，
$\frac{OC}{OP}$=$\frac{m+1}{m}$，$\frac{OD}{OB}$=$\frac{6+\frac{6}{m}}{6}$=$\frac{m+1}{m}$，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OD}{OB}$，
又∵∠BOP=∠DOC，
∴△BOP∽△DOC，
∴∠PBO=∠CDO，
∴BP∥AM．

点评 本题主要考查了反比例函数的图象与性质，以及相似三角形的判定定理与性质定理，牢记定理是解题的关键，要注意认真总结．