Question

16．如图在平面直角坐标系中，点A（-2，4）在直线y=-x+b上，点E是直线y=-x+b与y轴的交点．
（1）求点E的坐标；
（2）若矩形AOBC的顶点C恰好在y轴上，求点C和点B的坐标；
（3）若点P是直线AE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出直线AE的解析式，进而得出点E的坐标；
（2）根据矩形的性质，即可得出结论；
（3）分OE是菱形的边和对角线，利用菱形的性质即可得出结论．

解答 解：∵点A（-2，4）在直线y=-x+b上，
∴4=2+b，
∴b=2，
∴直线AE的解析式为y=-x+2，
∴E（0，2）；

（2）∵A（-2，4），∴直线OA的解析式为y=-2x
∵四边形OACB是矩形，
∴AC⊥OA，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+5，
∴C（0，5），同理：B（2，1）；

（3）存在，理由：
∵E（0，2），
∴OE=2，
∵以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴①当OE为菱形的边时，PQ∥OE，PQ=OE=2，PE=2，
设P（m，-m+2），
∵E（0，2），
∴PE=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+2-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$|m|=2，
∴m=±$\sqrt{2}$，
∴P（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+2）或（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$+2），
∴Q（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
②当OE是菱形对角线时，点P，Q在OE的垂直平分线上，
∴点P，Q的纵坐标都为1，
∵P在直线AE上，
∴P（1，1），
∴Q（-1，1），
即：符合题意的点Q（-1，1）、（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了菱形的性质，待定系数法，矩形的性质，解（1）的关键是利用待定系数法求出直线AE的解析式式，解（2）的关键是利用矩形的性质得出矩形的对边平行，邻边垂直，解（3）的关键是分OE是菱形的边和对角线两种情况讨论计算．