Question

5．（1）填空
3¹-3⁰=3^（0　）×2
3²-3¹=3^（1　）×2
3³-3²=3^（2　）×2
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
（3）计算：3+3²+…+3²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 （1）根据乘方的运算法则计算可得；
（2）由（1）知，第n个等式为3ⁿ-3^n-1=3^n-1×2，依据乘方的定义将左边拆成指数相等的幂相减可得；
（3）根据式子的特点，都乘以3，得等式②，根据等式的性质，可得2S=-3+3²⁰¹⁸，根据等式的性质：两边都除以2，可得答案．

解答 解：（1）∵3¹-3⁰=2=3⁰×2
3²-3¹=6=3¹×2
3³-3²=18=3²×2，
故答案为：0、1、2；

（2）由（1）知，第n个等式为3ⁿ-3^n-1=3^n-1×2，
∵3ⁿ-3^n-1=3×3^n-1-3^n-1=2×3^n-1，
∴3ⁿ-3^n-1=3^n-1×2；

（3）设S=3+3²+3³+…+3²⁰¹⁷ ①
3S=3²+3³+…+3²⁰¹⁷+3²⁰¹⁸ ②，
②-①得
2S=-3+3²⁰¹⁸，
两边都除以2，得S=$\frac{{3}^{2018}-3}{2}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握有理数乘方的定义和运算法则是解题的关键．