题目内容

4．如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交与点D．
①若∠BAO=60°，则∠D=45°．
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
（2）若∠ABC=$\frac{1}{3}$∠ABN，∠BAD=$\frac{1}{3}$∠BAO，则∠D=30  °．
（3）若将“∠MON=90°”改为“∠MON=α（0°＜α＜180°）”，∠ABC=$\frac{1}{n}$∠ABN，∠BAD=$\frac{1}{n}$∠BAO，其余条件不变，则∠D=$\frac{α}{n}$°（用含α、n的代数式表示）

分析 （1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°、∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D度数；
②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=$\frac{α}{n}$+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．

解答 解：（1）①∵∠BAO=60°、∠MON=90°，
∴∠ABN=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，
故答案为：45；

②∠D的度数不变．理由是：
设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；

（2）设∠BAD=α，
∵∠BAD=$\frac{1}{3}$∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC=$\frac{1}{3}$∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°，
故答案为：30；

（3）设∠BAD=β，
∵∠BAD=$\frac{1}{n}$∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC=$\frac{1}{n}$∠ABN，
∴∠ABC=$\frac{α}{n}$+β，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=$\frac{α}{n}$+β-β=$\frac{α}{n}$，
故答案为：$\frac{α}{n}$．

点评 本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键．

练习册系列答案
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15．下列计算正确的是（　　）
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12．分式方程$\frac{x}{x+2}$=$\frac{1}{2}$的解是（　　）
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19．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=2}\\{2x-3y=8}\end{array}\right.$，则x-y的值为（　　）
A．-1B．0C．2D．-2
9．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{3x-5y=11}\\{4x+3y=5}\end{array}\right.$．
16．如图在平面直角坐标系中，点A（-2，4）在直线y=-x+b上，点E是直线y=-x+b与y轴的交点．
（1）求点E的坐标；
（2）若矩形AOBC的顶点C恰好在y轴上，求点C和点B的坐标；
（3）若点P是直线AE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．阅读下列材料：
某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x
（单位：min）		012345810161820212432…
水箱中水的温度y
（单位：℃）		203550658064403220m80644020…
m的值为50；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=15x+20；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式$\frac{320}{x}$；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源56min．
14．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，如图所示的扇形表示学生的分布情况，如果来自乙地区的学生为630人，则这个学校共有1080个学生．

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