Question

1．如图，反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，-2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）对于反比例函数y=$\frac{2}{x}$，当y＜-1时，写出x的取值范围；
（3）点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S_△BDP=$\frac{1}{2}$S_△ODA？请求出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）先求得S_△BDP=$\frac{1}{2}$，然后分两种情况讨论，列出方程解方程即可求得．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，-2，
∴A（1，2），B（-2，-1），
把A、B的坐标代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）∵B（-2，-1），
由图象可知，当x＜-2时，y＜-1；
（3）∵一次函数为y=x+1，
∴D（-1，0），
∵A（1，2），
∴S_△ODA=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴S_△BDP=$\frac{1}{2}$S_△ODA=$\frac{1}{2}$，
设点P的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），x＜0，
∴ON=-x，PN=-$\frac{2}{x}$，
当P在直线下方时，如图1，则S_△BDP=S_{图梯形BMNP}+S_△NDP-S_△BDM=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{x}$）（2+x）+$\frac{1}{2}$×（-x-1）×（-$\frac{2}{x}$）-$\frac{1}{2}$×（2-1）×1=$\frac{1}{2}$，
解得x=-$\sqrt{2}$，
∴点P（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
当P在直线AB的上方时，如图2，则S_△BDP=S_{图梯形BMNP}+S_△BDM-S_△PDN=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{x}$）（-x-2）+$\frac{1}{2}$×（2-1）×1-$\frac{1}{2}$×（-x-1）×（-$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{2}$，
解得x=-1-$\sqrt{2}$，
∴点P（-1-$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．
综上可得：点P的坐标为：（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-1-$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题是反比例函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积的求法，第三问进行分类讨论是解题的关键．