Question

2．如图，抛物线y=-x²+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．
（1）求点A，M的坐标．
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当BD=1时
①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．
②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S₁，S₂，S₃，则S₁：S₂：S₃=3：4：8．

Answer 1

分析 （1）在抛物线解析式中令y=0，容易求得A点坐标，再根据顶点式，可求得M点坐标；
（2）由条件可证明四边形OCFE为平行四边形，可求得EF的点，可求得F点坐标，可得出BE的长，再利用平行线的性质可求得BD的长；
（3）①由条件可求得F点坐标，可求得直线MF的解析式，把A点坐标代入其解析式可判断出A点在直线MF上；②由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的长，再结合面积公式可分别表示出S₁，S₂，S₃，可求得答案．

解答 解：
（1）令y=0，则-x²+6x=0，解得x=0或x=6，
∴A点坐标为（6，0），
又∵y=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∴M点坐标为（3，9）；
（2）∵OE∥CF，OC∥EF，
∴四边形OCFE为平行四边形，且C（2，0），
∴EF=OC=2，
又B（3，0），
∴OB=3，BC=1，
∴F点的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y=-x²+6x上，
∴F点的坐标为（5，5），
∴BE=5，
∵OE∥CF，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BC}{OB}$，即$\frac{BD}{5}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=$\frac{5}{3}$；
（3）①当BD=1时，由（2）可知BE=3BD=3，
∴F（5，3），
设直线MF解析式为y=kx+b，
把M、F两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9=3k+b}\\{3=5k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=18}\end{array}\right.$，
∴直线MF解析式为y=-3x+18，
∵当x=6时，y=-3×6+18=0，
∴点A落在直线MF上；
②如图所示，

∵E（3，3），
∴直线OE解析式为y=x，
联立直线OE和直线MF解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-3x+18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∴OG=$\sqrt{（\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，OE=CF=3$\sqrt{2}$，
∴EG=OG-OE=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$-3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{CD}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
∴CD=$\frac{1}{3}$OE=$\sqrt{2}$，
∵P为CF中点，
∴PF=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴DP=CF-CD-PF=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OG∥CF，
∴可设OG和CF之间的距离为h，
∴S_△FPG=$\frac{1}{2}$PF•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$h=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$h，
S_{四边形DEGP}=$\frac{1}{2}$（EG+DP）h=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）h=$\sqrt{2}$h，
S_{四边形OCDE}=$\frac{1}{2}$（OE+CD）h=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$）h=2$\sqrt{2}$h，
∴S₁，S₂，S₃=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$h：$\sqrt{2}$h：2$\sqrt{2}$h=3：4：8，
故答案为：3：4：8．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、一元二次方程、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例、待定系数法、勾股定理等知识点．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得F点的坐标是解题的关键，在（3）①中，求得直线MF的解析式是解题的关键，在②中利用两平行线间的距离为定值表示出S₁，S₂，S₃是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．